Μετάβαση στο περιεχόμενο
μετάφραση
μενού
Δημοτικό - Γυμνάσιο: Τα πρώτα βήματα στην κατανόηση των αρχικών γεωμετρικών εννοιών

Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία (Δημοτικό - Γυμνάσιο)

Κάπου στη χώρα ενός νησιού, πριν 2000 χρόνια, ζούσε ένας γέροντας με τον εγγονό του.  Ο μικρός ήταν 8 χρόνων και του άρεσε να κάνει βόλτα με τον παππού του στις παραλίες του νησιού, να παίζει με τα κύματα και την άμμο, με τα πετραδάκια και τα κοχύλια.  Τον είχε τρελάνει τον γέροντα με τις ερωτήσεις του. Τι είναι αυτό παππού; Γιατί γίνεται έτσι εκείνο παππού; Πως μπορούμε να το κάνουμε αυτό παππού; Tου άρεσε όμως και του γέροντα ο διερευνητικός νους  και το γεμάτο περιέργεια βλέμμα του εγγονού του.    
Μια μέρα σε μια ερημική παραλία ο γέροντας κάθισε στη σκιά ενός μεγάλου δέντρου για να ξαποστάσει και άφησε το παιδί ελεύθερο να παίζει στην αμμουδιά.  Κάποια στιγμή ο μικρός φώναξε τον παππού του να έρθει για να του δείξει αυτό που έφτιαξε στην ακρογιαλιά. Ο γέροντας, παρόλη την κούρασή του και μη θέλοντας να του χαλάσει το χατίρι, πλησιάζοντας είδε το μικρό να έχει ενώσει  πετραδάκια μεταξύ τους σε μια ίσια γραμμή.
-Είδες παππού, τι έκανα είπε ο μικρός.  
-Μέχρι πού θα μπορούσες να συνεχίσεις αυτή τη γραμμή παιδί μου; Είπε ο γέροντας χαμογελώντας
- Όσο θέλω εγώ παππού, όσα είναι τα Βοτσαλάκια της γης· απάντησε χωρίς να πολυσκεφτεί ο μικρός.
- Πολύ ωραία, είπε ο γέροντας, τι άλλο μπορείς να κάνεις πάνω σε αυτή τη γραμμή με τις πέτρες; Μονότονη την βλέπω. Πώς θα την έκανες περισσότερο όμορφη;
Το παιδί σκέφτηκε για λίγο και του είπε:
- Μπορώ να βγάλω μια πέτρα και στη θέση της να βάλω ένα κοχύλι.
- Υπέροχα, είπε ο γέροντας, τώρα όμως αυτό το κοχύλι σπάζει τη γραμμή σου  σε δύο μέρη, έτσι δεν είναι;
- Ναι απάντησε το παιδί γεμάτο χαρά που το παιχνίδι του αποκτούσε καινούργιο ενδιαφέρον.
- Ωραία, είπε ο γέροντας, και αν διώξεις ακόμη ένα πετραδάκι από μια άλλη θέση της γραμμής και βάλεις εκεί ένα άλλο κοχύλι, η γραμμή σε πόσα μέρη θα έχει διαχωριστεί;
- Σε τρία, απάντησε ο μικρός.
- Και όλα αυτά τα μέρη είναι ίδια μεταξύ τους; Υπάρχει κάποια διαφορά του ενός από τα άλλα;
- Όχι, ίδια είναι, λέει το παιδί γεμάτο σιγουριά για τον εαυτό του.
- Είσαι βέβαιος, του λέει ο γέροντας. Και τα κοχύλια; Η πρώτη γραμμή που έφτιαξες δεν είχε κανένα κοχύλι.  Η δεύτερη είχε ένα κοχύλι που την έκοβε σε δύο μέρη και κατόπιν της βάλαμε και δεύτερο κοχύλι που την έκοβε σε τρία μέρη.
Ο μικρός κοιτούσε μια φορά τη γραμμή με τα πετραδάκια και μια τα κοχύλια. – Πράγματι, δεν είναι ίδια, υπάρχουν τα κοχύλια.
- Άρα, του λέει ο γέροντας, πρέπει με κάποιο τρόπο να τις ξεχωρίσουμε. Τι λες λοιπόν; Την αρχική θέλεις να την ονομάσουμε ευθεία;
Το χαμόγελο ξανάρθε στα χείλη του παιδιού, αλλά όχι για πολύ.

- Και αυτή με τα κοχύλια, είπε γεμάτο απορία.
- Αυτές, είπε ο γέροντας, ας δούμε τα πράγματα από την αρχή… πιο απλά. Αυτή αποτελείται από μέρη, έτσι δεν είναι ;
- Έτσι είναι, απάντησε με βεβαιότητα ο μικρός.
- Το πρώτο από αυτά, σε τι διαφέρει από την ευθεία;
- Είναι και αυτό ευθεία, είπε το παιδί. Ναι, αλλά… Κοντοστάθηκε. Έχει και το κοχύλι, τώρα τι κάνουμε; είπε στον παππού.
- Ε, απάντησε κάπως αδιάφορα ο γέροντας, ας δούμε τη διαφορά αυτού του μέρους από ολόκληρη την ευθεία και συνεχίζοντας ρώτησε τον εγγονό του:
- Στην πρώτη σειρά από πέτρες που δημιούργησες, μου είπες ότι θα μπορούσες να προσθέσεις και άλλες και στα δύο άκρα της γραμμής. Έτσι, δεν είναι ;
-Ναι, μονολόγησε ο μικρός.    
- Όταν μπήκε το κοχύλι, συνέχισε ο παππούς, στο πρώτο κομμάτι θα μπορούσες εσύ και από τις δύο μεριές του να προσθέσεις πέτρες  ή όχι;
Το παιδί σκέφτηκε και γυρίζοντας στον παππού, του είπε ότι από τη  μια μεριά τον εμποδίζει το κοχύλι.
- Ωραία, είπε ο γέροντας, έχουμε δηλαδή κάτι διαφορετικό από την ευθεία. Θέλεις να το ονομάσουμε ημιευθεία.
- Ναι παππού, φώναξε με ενθουσιασμό  ο μικρός.
- Και τώρα, με τα άλλα δύο μέρη, συνέχισε ο γέροντας, ξέρουμε πως τα λένε; Ο μικρός κοίταξε τα τρία κομμάτια και αναφώνησε γεμάτος χαρά:
- Και αυτό είναι ημιευθεία, δείχνοντας το άλλο άκρο της ευθείας.
- Ποιο, του είπε ο παππούς;
- Να αυτό από το κοχύλι και πέρα.
- Και το μεσαίο δεν είναι ίδιο με τα άλλα; Ρώτησε ο παππούς.

- Όχι, αναφώνησε το παιδί, δεν βλέπεις παππού που έχει δύο κοχύλια, δεν μπορώ πέρα από αυτά να προσθέσω άλλα πετραδάκια.
- Ωραία, είπε ο γέροντας, αυτό το μεσαίο κομμάτι, τι λες ,να το πούμε τμήμα;
- Ναι, είπε γεμάτο χαρά το παιδάκι.
Τότε, ο γέροντας σήκωσε από κάτω ένα ξερό ξύλο και στην υγρή αμμουδιά χάραξε μια ίσια γραμμή.
- Πως είπαμε ότι λέγεται αυτή; Δεν πειράζει που δεν έχει πετραδάκια, αν δούμε καλύτερα έχει κόκκους άμμου. Το ίδιο δεν είναι;
- Ναι παππού, είναι μια ευθεία, συνέχισε το παιδί.
Ο γέροντας με το ξύλο έκανε ένα βαθούλωμα στην άμμο και το συνέχισε με μια ίσια γραμμή.
- Και αυτό που έκανα τώρα, τι είναι;
- Μια ημιευθεία παππού, αν ρίξω μέσα στην τρύπα ένα κοχύλι, είπε το παιδί χαμογελώντας και κοιτώντας με λοξή ματιά τον γέροντα. Αυτός ικανοποιημένος από την απάντηση του εγγονού του χαμογέλασε και χάιδεψε στοργικά το κεφαλάκι του παιδιού.
Ο μικρός, γεμάτος αυτοπεποίθηση για τον εαυτό του, πήρε από τα χέρια του παππού του το ξύλο, έκανε δύο βαθουλώματα στην άμμο και χάραξε από το ένα προς το άλλο μια ίσια γραμμή. Με ύφος δασκάλου είπε με στόμφο:
- Αυτό είναι ένα τμήμα. Ο γέροντας γεμάτος ευχαρίστηση, γιατί ο μικρός του θύμιζε στιγμές  από τη δική του ζωή, πήρε τον εγγονό του από το χέρι και σιγά – σιγά ξεκίνησαν για το δρόμο της επιστροφής προς το  σπίτι τους. Από μέσα του χαιρόταν, γιατί μόλις πριν από λίγο ο εγγονός του έκανε τα πρώτα  του βήματα στη γεωμετρία.

Γυμνάσιο - Λύκειο: Οι εξισώσεις δευτέρου βαθμού στη μαθηματικοχώρα

Λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης (Γυμνάσιο - Λύκειο)

Στη μαθηματικoχώρα o διδάσκων καθηγητής κ. Πολυξερίδης έθεσε στους μαθητές του το παρακάτω πρόβλημα:
-Πέρυσι το Νοέμβριο στο συνέδριο των μαθηματικών που έγινε στην πόλη των Ριζών έτυχε στο αμφιθέατρο να καθίσω δίπλα στον μηχανικό που το έφτιαξε. Πάνω στη συζήτηση μου ανέφερε ότι το αμφιθέατρο είναι 204 τ.μ. ενώ σε μια από τις πρώτες εισηγήσεις ο ομιλών ανέφερε ότι το μήκος της αίθουσας είναι κατά 15,5 τ.μ. μεγαλύτερο από το πλάτος της. Εκείνη την ώρα από περιέργεια θέλησα να βρω τις διαστάσεις της αίθουσας και πραγματικά βρήκα ότι το πλάτος της είναι 8,5 τ.μ. και το μήκος της  είναι 24 τ.μ. Τον τρόπο με τον οποίο προσέγγισα αλγεβρικά το πρόβλημα, σας τον δίνω παρακάτω :
Αλγεβρική λύση
Θα μπορούσε κάποιος από εσάς μελετώντας τη λύση που έδωσα να μαντέψει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκα για να προσεγγίσω το πρόβλημα . Απλά να ξέρετε ότι οι μαθηματικές γνώσεις που χρησιμοποίησα είναι αυτές που έχετε εσείς μέχρι αυτή τη στιγμή.
Από το βάθος της αίθουσας πετάγεται ο μαθητής Ατσίδας, ζητά το λόγο και αναφέρει τα παρακάτω:
-Κύριε, πιστεύω ότι σκεφτήκατε ως εξής:

Εικασία τρόπου σκέψης
-Πράγματι, έτσι σκέφτηκα. Μπράβο παιδί μου.
Εκείνη την ώρα από το πρώτο θρανίο σηκώνει χέρι ο μαθητής Εξυπνούλης και ζητά το λόγο.
-Κύριε, κύριε μπορώ να προσθέσω κάτι επιπλέον.
-Ναι, παιδί μου. Λέγε τι θες.
-Κύριε, σκέφτομαι ότι θα μπορούσε κάποιος αντί να οδηγηθεί σε λύση διωνυμικής εξίσωσης, να φτάσει σε διαφορά τετραγώνων και από εκεί σε γινόμενο παραγόντων που θα τον οδηγήσει σε λύση απλών πρωτοβάθμιων εξισώσεων.
-Πράγματι παιδιά, θα μπορούσαμε να δουλέψουμε και με αυτόν τον τρόπο. Σήκω επάνω Εξυπνούλη να μας δείξεις αλγεβρικά αυτή την διαφορετική προσέγγιση. Να ξέρετε παιδιά ότι η πορεία προς τη λύση δεν είναι πάντοτε μοναδική στα προβλήματα που προσπαθείτε να λύσετε. Διαφορετικοί τρόποι προσέγγισης θα μπορούσαν να δώσουν την ίδια λύση, αλλά ακόμη και στην ίδια αρχικά προσέγγιση  θα μπορούσαν να υπάρξουν διαφοροποιήσεις που όμως καταλήγουν στο ίδιο ζητούμενο αποτέλεσμα. Βάλτε λοιπόν καλά στο μυαλό σας ότι η πορεία προς τη λύση δεν είναι μονόδρομος. Αυτή είναι εξάλλου μια από τις πολλές ομορφιές των μαθηματικών, η δυνατότητα εναλλακτικών λύσεων.
Ο Εξυπνούλης σηκώνεται στον πίνακα και γράφει:
Εναλλακτικός τρόπος σκέψης
-Πολύ σωστά Εξυπνούλη, αλλά γιατί το  x+24=0 το απέρριψες;
-Γιατί το x  είναι θετική ποσότητα, αφού είναι το πλάτος της αίθουσας.
-Πολύ σωστά. Παιδιά στο σπίτι σας προσπαθήστε να προσεγγίσετε τη λύση και με διαφορετικούς τρόπους. Αν δεν μπορέσετε να φτάσετε σε κάτι αξιόλογο ανατρέξτε στο διαδίκτυο και βρείτε ιστορικές προσεγγίσεις του προβλήματος λύσης τέτοιων εξισώσεων. Έπειτα, προσπαθήστε να καταλάβετε την λογική αλληλουχία του τρόπου προσέγγισης και να αντιληφτείτε βήμα – βήμα τα κίνητρα που ώθησαν το λύτη στη συγκεκριμένη λύση.
Σημείωση:

  • Ο αρχικός τρόπος προσέγγισης ενός άγνωστου προβλήματος "είναι" μαθηματικά, γιατί ο λύτης με νοητικές διεργασίες κατασκευάζει και συνδυάζει μαθηματικά αντικείμενα μέχρι να φτάσει στον στόχο του που είναι η όσο το δυνατό συντομότερη, φυσική και ακριβέστερη προσέγγιση της λύσης. Η επανάληψη του παραπάνω τρόπου προσέγγισης στην αντιμετώπιση όμοιων προβλημάτων, δηλαδή η μεθοδολογική αντιμετώπιση μιας ομάδας ίδιων προβλημάτων δεν "είναι" μαθηματικά, αλλά μια επαναλαμβανόμενη, πολλές φορές βαρετή αλγοριθμική διαδικασία. Κάτι αντίστοιχο σε όρους πληροφορικής με αυτόν που "φτιάχνει" ένα πρόγραμμα για να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα (προγραμματιστής) και με αυτόν που απλά "κάνει χρήση" του προγράμματος σε έναν υπολογιστή (χειριστής ηλεκτρονικών υπολογιστών).
  • Ο τρόπος σκέψης του αρχικού λύτη ενός άγνωστου προβλήματος έχει να δώσει πολλά στη διδακτική διαδικασία, αν ο μαθητής με τη βοήθεια του διδάσκοντα ανιχνεύσει τον δρόμο λύσης και δώσει απαντήσεις στο γιατί ακολουθήθηκε σε κάθε βήμα της μια συγκεκριμένη πορεία και όχι κάποια άλλη. Αυτό δίνει τη δυνατότητα ανάπτυξης της δημιουργικής και κριτικής σκέψης του μαθητή και τον καθιστά ικανό να λύνει προβλήματα για τα οποία δεν έχει, με τις μέχρι εκείνη τη στιγμή γνώσεις του, «πάτημα» που θα τον οδηγήσει προς τη λύση.


μενού
Επιστροφή στο περιεχόμενο