Μετάβαση στο περιεχόμενο
Ιστορικές διαδρομές
Μαθηματική σκέψη

Ιστορικές διαδρομές


κάποιες σκέψεις …

Σήμερα  είναι κοινά παραδεκτό ότι οι μαθηματικοί νόμοι στις φυσικές επιστήμες  είναι απλά προσεγγιστικές περιγραφές και, παρότι είναι ακριβείς, δεν  είναι τίποτε παραπάνω  από τον τρόπο που έχει ο άνθρωπος να βλέπει και  να καταλαβαίνει τη φύση. Διαφορετικές προσεγγίσεις μπορεί να ταιριάζουν  το ίδιο καλά και να δίνουν λύση στο πρόβλημα που υπάρχει. Αν στο μέλλον  κάποια άλλη προσέγγιση ταιριάζει καλύτερα, τότε η παλαιότερη  εγκαταλείπεται  και υιοθετείται η καινούρια. Ιστορικά παρατηρούμε ότι,  όταν η ιδέα ωριμάσει, μπορούν φωτισμένα μυαλά, ακόμη και ανεξάρτητα  γεωγραφικά και χρονικά το ένα απ'  το άλλο, να φτάσουν στην ίδια νοητική  σύλληψη και συγχρόνως οι μεταγενέστεροι να αγνοούν ότι το έργο που  επιτέλεσαν οι παλαιότεροι είναι ίδιο ή και καλύτερο από το δικό τους.  Αυτή η διαπολιτισμική συνιστώσα των μαθηματικών τους προσδίδει περίσσεια  ομορφιά και μυστήριο.


Οι αποδείξεις του Αρχιμήδη για τη μέτρηση  των εμβαδών και των όγκων καθορίζουν τα πρότυπα για την αυστηρή   επεξεργασία των ορίων μέχρι τους σύγχρονους χρόνους. Αλλά ο  τρόπος που  αυτός ανακάλυψε αυτά τα αποτελέσματα παρέμεινε ένα  μυστήριο έως το  1906, όταν ανακαλύφθηκε ένα αντίγραφο της χαμένης πραγματείας  του Μέθοδος  στην  Κωνσταντινούπολη. Αυτό έφερε στο φως ότι ο Αρχιμήδης είχε  χρησιμοποιήσει μια μέθοδο παρόμοια με εκείνη που αργότερα έγινε γνωστή  ως Αρχή του Cavalieri.


O Zu Geng  (450-520) γενήθηκε στην  Jiankang (τώρα Nanking της επαρχίας Kiangsu) στην Κίνα και είναι γνωστόs  επίσης με το όνομα Geng Zhi Zu, Zu Xuan  ή Tsu Keng.  Ανήκε σε μια  οικογένεια που για πολλές γενεές έβγαλε μεγάλους και σημαντικούς  μαθηματικούς. Ο Zu Geng μέσα από την οικογενειακή παράδοση διδάχθηκε  ποικίλες δεξιότητες καθώς μεγάλωνε. Ειδικότερα διδάχθηκε τα μαθηματικά  από τον ταλαντούχο μαθηματικό  πατέρα του Zu Choogzhi. Το σημαντικότερο  επίτευγμα του Geng Zu ήταν ότι υπολόγισε τη διάμετρο μιας σφαίρας  δεδομένου όγκου. Μαθαίνουμε γι' αυτήν την εργασία από τα σχόλια του Li  Chunfeng στα “Εννέα κεφάλαια σχετικά με τη μαθηματική τέχνη”.O  Zu Geng πρότεινε ότι: "παίρνοντας το διπλάσιο δεδομένου όγκου και  εξάγοντας την κυβική ρίζα του έχουμε τη διάμετρο της  σφαίρας." (ο τύπος  που παρουσιάζεται εδώ θεωρεί ότι π=3). Η απόδειξη βασίζεται σ' αυτό που  τώρα ονομάζεται αρχή Liu –  Hui  και Zu Geng, δηλαδή:  


«Οι όγκοι δύο στερεών του ίδιου ύψους έχουν σταθερό λόγο, εάν τα εμβαδά των επίπεδων τομών σε ίσα ύψη έχουν τον ίδιο λόγο».


Αυτή η διατύπωση αποτελεί μια γενίκευση της Αρχής του Cavalieri.


Ο Bonaventura Cavalieri (1598-1647)  γεννήθηκε στο Μιλάνο το 1598 και πέθανε στη Μπολόνια στις 27 Νοεμβρίου  του 1647. Έγινε Ιησουίτης σε νεαρή ηλικία. Διορίστηκε καθηγητής  μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια το 1629, θέση που κατείχε  μέχρι το θάνατό του. Ο Cavalieri,  που θεωρούσε τον εαυτό του μαθητή του  Γαλιλαίου,  στην εργασία του με τίτλο: « Μέθοδος για την ανάπτυξη της νέας γεωμετρίας των συνεχών αδιαιρέτων» (1635), εισήγαγε την έννοια μιας λεπτής λωρίδας ή του αδιαιρέτου (indivisible) στα μαθηματικά. "Αδιαίρετα"  θεωρείται ότι είναι τα βασικά, ατομικά συστατικά ενός γεωμετρικού  σχήματος, αν και ο ίδιος ο Cavalieri δεν έδωσε ορισμό. Στην ίδια εργασία  ισχυριζόταν ότι μια γραμμή αποτελείται από έναν άπειρο  αριθμό σημείων  (καθένα χωρίς μέγεθος), μια επιφάνεια από άπειρο αριθμό γραμμών (καθεμιά  χωρίς  εύρος), και ένας όγκος από ένα άπειρο αριθμό επιφανειών (καθεμιά  χωρίς πάχος). Επιπλέον υπέθετε ότι οποιοδήποτε μέγεθος μπορεί να  διαιρεθεί  σε άπειρο αριθμό μικρών ποσοτήτων. Του έγινε έντονη κριτική  από τον Ελβετό μαθηματικό Guldin και ο Cavalieri απάντησε στα 1647 με  ένα νέο έργο, το «Έξι γεωμετρικές εφαρμογές»,  όπου η τρίτη άσκηση αφιερώνεται σε μια υπεράσπιση της θεωρίας του. Οι  εργασίες του επανεκδόθηκαν με τις πιο πρόσφατες διορθώσεις του το 1653  και έτσι η μέθοδος των αδιαιρέτων διατυπώνεται ικανοποιητικά και  αποτελεί πλέον εργαλείο χρησιμοποιούμενο ευρύτατα από τους μαθηματικούς  του 17ου αιώνα.


Αρχή του Cavalieri για τα εμβαδά:   Θεωρούμε δύο χωρία Ε και ε που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, και όλες τις  ευθείες του επιπέδου που είναι παράλληλες προς σταθερή ευθεία και  τέμνουν αμφότερα τα χωρία. Αν για καθεμιά από τις παράλληλες αυτές  ευθείες τα ευθύγραμμα τμήματα της τομής έχουν ίσα μήκη, τότε: εμβαδόν Ε =  εμβαδόν ε.


Αρχή του Cavalieri για τους όγκους:  Θεωρούμε δύο στερεά V και v του χώρου, και όλα τα επίπεδα του χώρου που  είναι παράλληλα προς σταθερό επίπεδο και κόβουν αμφότερα τα στερεά. Αν  για καθένα από τα παράλληλα αυτά επίπεδα οι επίπεδες τομές έχουν ίσα  εμβαδά, τότε: όγκος V = όγκος v.


Εκείνο που πρέπει, τελικά, να  τονίσουμε είναι ότι το ιστορικό πλαίσιο μέσα στο οποίο ανατράφηκε μια  μαθηματική έννοια αποτελεί τον κατάλληλο χώρο μέσα στον οποίο μπορεί να  γίνει η επανάπλασή της από τους μαθητές. Ο τρόπος που σκέφτηκαν οι  προγενέστεροι αποτελεί οδηγό για τον τρόπο που θα πρέπει να σκεφθούν οι  μεταγενέστερες γενιές. Δεν αποτελεί σχήμα λόγου η φράση: «η ιστορία μας  είναι κομμάτι του πολιτισμού μας».


Αναφορές:


[1] I.F.Sharygin, Όγκοι χωρίς ολοκληρώματα, περιοδικό Quantum, εκδόσεις Κάτοπτρο, τόμος 4/τεύχος 3, Ιούνιος 1997,σελ.36 – 37.

[2] Roger B. Nelsen, Αποδείξεις χωρίς λόγια, εκδόσεις Σαββάλας, Ιούλιος 1996, σελ.35.

[3]  Πινάτσης Π (2006), Ιστορικές διαδρομές και διδακτικές προσεγγίσεις για  την ογκομετρία στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, Πρακτικά 23ου Συνεδρίου  ΕΜΕ, Πάτρα.





0
αξιολογήσεις
Επιστροφή στο περιεχόμενο