Μετάβαση στο περιεχόμενο
Η μετάπλαση ενός γεωμετρικού προβλήματος
Μαθηματική σκέψη

Μετάπλαση Γεωμετρικού Προβλήματος



Πινάτσης Παναγιώτης
Θα ασχοληθούμε με την εφαρμογή 1 στη σελίδα 47 του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου και θα προσπαθήσουμε να το αλλάξουμε με όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε κάνοντάς το αγνώριστο και ως προς τη διατύπωση και ως προς τα δεδομένα και ζητούμενα.
Ξεκινάμε με την εκφώνηση του σχολικού βιβλίου:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου και ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα τμήματα προς την ευθεία ΒΓ, τότε:
Ι) Να συγκριθούν τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ, καθώς και τα ΑΓΔ και ΖΓΘ

ΙΙ) Να αποδειχθεί ότι ΕΗ=ΖΘ

Το σχήμα είναι το παρακάτω:
        

  

Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι ο δημιουργός της άσκησης με την διατύπωσή της την κατέβασε επίπεδο, ενώ αν παρέλειπε το ερώτημα Ι) και δεν ζητούσε να φέρουν το ύψος ΑΔ, τότε θα ανέβαζε το επίπεδό της και θα προκαλούσε σίγουρα μεγαλύτερο προβληματισμό και ενδιαφέρον. Ο τρόπος προσέγγισης θα γινόταν περισσότερο δύσκολος και θα οδηγούσε με κατάλληλους χειρισμούς του διδάσκοντα σε βαθύτερη κατανόηση αναδεικνύοντας την κριτική και δημιουργική σκέψη των μαθητών. Κατά την γνώμη μου η συγκεκριμένη άσκηση θα έπρεπε να δοθεί στο τέλος του κεφαλαίου για να αναδειχθούν και να κατανοηθούν καλύτερα οι όποιες πτυχές και σχέσεις μεταξύ των γεωμετρικών αντικειμένων που περιέχονται σε αυτήν. Έτσι, η διατύπωση στην οποία θα έπρεπε να προχωρήσει ο διδάσκων και το σχήμα που θα αντιστοιχούσε σε αυτήν θα έπρεπε να ήταν:    
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα τμήματα προς την ευθεία ΒΓ, τότε:
Να αποδειχθεί ότι ΕΗ=ΖΘ
Ενώ το σχήμα θα ήταν το παρακάτω:
    

  

Η στρατηγική προσέγγιση της λύσης θα έπρεπε να κινούνταν γύρω από το παρακάτω σκεπτικό:
α) Απευθείας σύγκριση δύο τριγώνων όπου το ένα θα έχει ως πλευρά του το τμήμα ΕΗ και το άλλο θα έχει ως πλευρά του το τμήμα ΖΘ. Μετά από μια μικρή συζήτηση το εγχείρημα ισότητας των τριγώνων ΕΗΒ και ΖΓΘ θα έπρεπε να εγκαταλειφθεί.
β) Απομένει τώρα το ενδεχόμενο ύπαρξης τμήματος ή τμημάτων που θα παρεμβάλλονταν και θα ήταν ίσα με τα ΕΗ και ΖΘ. Η σκέψη τώρα οδηγείται για παράδειγμα στο ένα από τα δύο τμήματα, για παράδειγμα το ΕΗ και εξετάζουμε αν υπάρχει τμήμα του σχήματος ή βοηθητικό τμήμα που θα μπορούσε να ήταν ίσο με αυτό. Έτοιμο από το σχήμα κάτι τέτοιο δεν υπάρχει, άρα κυρίαρχη σκέψη είναι η εύρεση βοηθητικού τμήματος και τα μόνα εργαλεία που διαθέτουμε μέχρι στιγμής είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Η σκέψη όμως τώρα οδηγείται  σε ισότητα ορθογωνίων τριγώνων αφού το μόνο τρίγωνο που περιέχει την ΕΗ είναι το ορθογώνιο ΕΗΒ. Άρα, και το άλλο τρίγωνο θα πρέπει να είναι ορθογώνιο, δηλαδή θα πρέπει να φέρουμε κάθετη, ποια όμως. Σε αυτό το σημείο βοηθούν τα άλλα δεδομένα του προβλήματος, αφού έχουμε από υπόθεση ΑΒ=ΒΕ, δηλαδή το άλλο τρίγωνο θα έχει ως πλευρά του την ΑΒ, επομένως για να έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά την ΑΒ θα πρέπει να φέρουμε την κάθετη ΑΔ προς την ΒΓ (το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ) και κάπου εκεί τελειώνουν τα πράγματα, αφού ΕΒΗ=ΑΒΔ, οπότε ΕΗ=ΑΔ και ΖΘΓ=ΑΔΓ, οπότε ΖΘ=ΑΔ. Τελικά ΕΗ=ΖΘ.
  



Η συγκεκριμένη άσκηση θα μπορούσε να δοθεί και ως θέμα πάνω στα παραλληλόγραμμα. Είναι καλό να γυρίζουμε πίσω στην ύλη και να βρίσκουμε ασκήσεις που βγαίνουν με ευκολότερο τρόπο με χρήση νέων εργαλείων που ήδη θα έχουμε μάθει. Στην συγκεκριμένη άσκηση ο τρόπος σκέψης θα έπρεπε να ήταν:
Ι) Από ισότητα δύο τριγώνων δεν υπάρχει περίπτωση να προκύψει ότι ΕΗ=ΖΘ
ΙΙ) Παρατηρούμε ότι ΕΗ//ΖΘ και επειδή θέλουμε να δείξουμε ότι ΕΗ=ΖΘ, το ΕΗ=//ΖΘ μας θυμίζει παραλληλόγραμμο. Άρα, αν ΕΗΘΖ μπορούσαμε να δείξουμε ότι είναι παραλληλόγραμμο, το πρόβλημα θα είχε λυθεί.
ΙΙΙ) Γνωρίζουμε ήδη ότι ΕΗ//ΖΘ, επομένως αρκεί να δείξουμε ότι ΗΘ//ΕΖ που ισχύει, γιατί στο τρίγωνο ΑΕΖ, Β,Γ μέσα των ΑΕ,ΑΖ, οπότε ΒΓ//ΕΖ, δηλαδή ΗΘ//ΕΖ.
    



Τώρα, ας πάμε σε διαφορετικό πλαίσιο αναφοράς και ας σκεφτούμε μήπως αυτή η άσκηση θα μπορούσε να δοθεί με την παρακάτω διατύπωση:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν Η τυχαίο σημείο στην προέκταση της ΓΒ και ΖΘ//ΕΗ, όπου Θ σημείο πάνω στην ευθεία ΒΓ, τότε:
Να αποδειχθεί ότι ΕΗ=ΖΘ
Το σχήμα θα είναι το παρακάτω:
    

  

Παρατηρήστε την νέα άσκηση. Ξεγελά. Νομίζεις ότι είναι κάτι διαφορετικό, ενώ έχει την ίδια δομή με την αρχική και βγαίνει με τον ίδιο τρόπο είτε λυθεί με ισότητα τριγώνων, είτε με παραλληλόγραμμα.
Ας πάμε λίγο παρακάτω δίνοντας την άσκηση:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν Δ σημείο της ΒΓ και Η σημείο στην προέκταση της ΓΒ ώστε \[{\rm B}\widehat {\rm A}\Delta  = {\rm B}\widehat {\rm E}{\rm H}\] και ΖΘ//ΕΗ, όπου Θ σημείο πάνω στην ευθεία ΒΓ, τότε:
Να αποδειχθεί ότι ΕΗ=ΖΘ
Το σχήμα θα είναι το παρακάτω:

        

Αρχικά, νομίζουμε ότι η άσκηση αυτή είναι κάτι το διαφορετικό από τα προηγούμενα όμως, όπως βλέπουμε, προσεγγίζεται με τον ίδιο τρόπο.
Τέλος, ας δώσουμε ακόμη μια άσκηση που φανερώνει τις απεριόριστες δυνατότητες που έχουμε στην δημιουργία ασκήσεων του ίδιου δομικού πυρήνα με μια άσκηση οδηγό.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ. Αν Η τυχαίο σημείο στην προέκταση της ΓΒ με ΒΗ< ΒΓ, Ζ σημείο στην προέκταση της ΑΓ και Θ σημείο πάνω στην ευθεία ΒΓ ώστε ΖΘ=//ΕΗ, δείξτε ότι Γ μέσο της ΑΖ.

Επιστροφή στην κορυφή


Επιστροφή στο περιεχόμενο